相続人であれば、その相続を承認すれば被相続人の債務を承継することになります。
今回の場合はＡさんの子がすべて放棄しているとのことですので、Ａさんの親がすでにいないのであれば、Ａさんの兄弟姉妹が相続人となります。
なお、Ａさんが亡くなった後にアドさんの父が亡くなったのであればその父の権利を父の相続人が引き継ぐことになりますが、Ａさんより前にアドさんの父が亡くなっているのであれば、その父の代襲相続人は子になりますので、配偶者である母は相続人とはなりません。

既にＡの子が相続放棄を済ませているとすると、後になくなったＡの配偶者の件は別にして、Ａの兄弟姉妹が相続人となり、Ａより先に亡くなった兄弟姉妹の子（甥姪）が代襲して相続人となります。ですから、アドさんが相続人となって、納税義務を承継することになります。これを避けるには、同様に相続放棄の手続を取らなければなりません。

税理士法人プラス・行政書士法人サポートプラスです。
　Ａの子が全て既に相続放棄をしており、且つ、Ａのご両親も相続放棄をしている、若しくは既に他界なさっているのであれば、Ａの御兄弟及び、Ａより先に他界なさっているご兄弟の子、即ちＡの甥御様、姪御様が代襲相続人となります。
　負債の方が多いのであれば、相続の放棄をすることが適当と思われます。
　相続の放棄は、自己のために相続の開始があったことを知った時から3ヶ月以内にする事ができます。